\documentclass{article}
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\def\sgn{\mathop{\operator@font sgn}\nolimits}
\makeatother
\begin{document}
\section*{Herleitung von Formeln zum Navigieren l\"angs einer Orthodrome}
Das karthesische Koordinatensystem f\"ur die Erde als Einheitskugel 
(mit Mittelpunkt im Ursprung) sei wie folgt festgelegt:\\[1pt]
\vbox{}\quad$x$-Achse zum Schnittpunkt \"Aquator-Nullmeridian,\\
\vbox{}\quad$y$-Achse zum Schnittpunkt \"Aquator-90$^\circ$ Ost,\\
\vbox{}\quad$z$-Achse zum Nordpol.\\[1pt]
Damit sind Punkte $\vec p$ auf der Erdoberfl\"ache mit 
L\"ange $\lambda$ (positiv auf der Osthalbkugel) und
Breite $\varphi$ (positiv auf der Nordhalbkugel) gegeben als 
$\vec
p=\left(\cos\lambda\cos\varphi,\sin\lambda\cos\varphi,\sin\varphi\right)^\top$.
Durch Rotation um $-\lambda$ um die $z$-Achse landet $\vec p$ unter
Beibehaltung der Breite auf dem Nullmeridian:
$$R_z(-\lambda)\vec p=\left(\begin{array}{ccc}\cos\lambda&\sin\lambda&0\\-\sin\lambda&\cos\lambda&0\\0&0&1\end{array}\right)%
\left(\begin{array}c\cos\lambda\cos\varphi\\\sin\lambda\cos\varphi\\\sin\varphi\end{array}\right)=%
\left(\begin{array}c\cos\varphi\\0\\\sin\varphi\end{array}\right)$$
Anschließende Rotation um $\varphi-\frac\pi2$ um die $y$-Achse dreht den Punkt auf
den Nordpol:
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{ccc}\cos(\frac\pi2-\varphi)&0&\sin(\varphi-\frac\pi2)\\0&1&0\\\sin(\frac\pi2-\varphi)&0&\cos(\frac\pi2-\varphi)\end{array}\right)%
\left(\begin{array}c\cos\varphi\\0\\\sin\varphi\end{array}\right)&=&\nonumber\\
\left(\begin{array}{ccc}\sin\varphi&0&-\cos\varphi\\0&1&0\\\cos\varphi&0&\sin\varphi\end{array}\right)%
\left(\begin{array}c\cos\varphi\\0\\\sin\varphi\end{array}\right)&=&
\left(\begin{array}c0\\0\\1\end{array}\right)\nonumber
\end{eqnarray}
Betrachten wir jetzt die Reise l\"angs eines Gro\ss{}kreises von $\vec p_1$
nach $\vec p_2$. Rotieren wir erneut $p_1$ zum Nordpol, so verl\"auft die
Reise ohne Ver\"anderung des Abstandes nun l\"angs eines Meridian vom Nordpol 
zum Punkt 
\begin{eqnarray}
R_y\left(\varphi_1-\frac\pi2\right)R_z(-\lambda_1)\vec p_2&=&
R_y\left(\varphi_1-\frac\pi2\right)\left(\begin{array}c\cos(\lambda_2-\lambda_1)\cos\varphi_2\\\sin(\lambda_2-\lambda_1)\cos\varphi_2\\\sin\varphi_2\end{array}\right)\nonumber\\
&=&\left(\begin{array}c\cos(\lambda_2-\lambda_1)\cos\varphi_2\sin\varphi_1-\sin\varphi_2\cos\varphi_1\\
\sin(\lambda_2-\lambda_1)\cos\varphi_2\\
\cos(\lambda_2-\lambda_1)\cos\varphi_2\cos\varphi_1+\sin\varphi_2\sin\varphi_1\end{array}\right)=:\vec q\nonumber
\end{eqnarray}
Daraus l\"a\ss{}t sich \"uber die Breite $\arcsin q_z$ bereits die Formel f\"ur die Streckenl\"ange 
$$l=r_{\earth}\arccos\left(\cos(\lambda_2-\lambda_1)\cos\varphi_2\cos\varphi_1+\sin\varphi_2\sin\varphi_1\right)$$
ablesen. Die L\"ange des Punktes $\vec q$ ergibt sich als 
$$\lambda_q=\left\{\begin{array}{rl}\arcsin\frac{q_y}{\sqrt{1-q_z^2}}&\textrm{f\"ur }q_x\geq0\\
\pi\sgn q_y-\arcsin\frac{q_y}{\sqrt{1-q_z^2}}&\textrm{f\"ur }q_x<0\end{array}\right.$$
und damit liegt $R_z(-\lambda_q)R_y(\varphi_1-\frac\pi2)R_z(-\lambda_1)\vec p_2$ auf dem Nullmeridian.
F\"ur Punkte $\vec j$ des Nullmeridians mit $j_z>q_z$ liegt folglich
$R_z(\lambda_1)R_y(\frac\pi2-\varphi_1)R_z(\lambda_q)\vec j$ auf dem Gro\ss{}kreis zwischen
$\vec p_1$ und $\vec p_2$. Zum Zeichnen des Gro\ss{}kreisbogens von $p_1$ nach $p_2$
verwendet man optimalerweise ein Polygon zwischen derart zur\"uckgedrehten 
Punkten $\vec j_1$ bis $\vec j_n$.
\subsection*{Beispiel New York $\to$ Dakar}
$\varphi_1=40^\circ 43'$[N] $\lambda_1=-74^\circ$[W] $\longrightarrow$
$\varphi_2=14^\circ 40' 52''$[N] $\lambda_2=-17^\circ 26' 30''$[W].\\
$\Rightarrow l=8543,422$\,km $\lambda_q=56.891^\circ$.
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{nydk2.ps}
\includegraphics[width=6cm]{nydk.ps}
\end{center}
\hfill\textit{Anderl, 10'2019}
\end{document}