Satz (von M. Sperl über die Existenz und Eindeutigkeit der Traumfrau)
Für jeden Mann gibt es genau eine Traumfrau
Beweis: (von A. Niedermeier)
Ex.: Es sei F die Menge aller Frauen und m aus M ein Mann.
Ferner sei ƒm : F–>R eine Abbildung, die spezifische
Abbildung von m. Da |F| endlich ist, kann F o.E.
bzgl. der diskreten Topologie T=P(F) betrachtet werden.
Damit ist ƒm stetig. Andererseits ist F als endliche
Menge kompakt (bzgl. T). Daher ist ƒm(F)
als stetiges Bild eines Kompaktums kompakt in R, also beschränkt und
ƒm nimmt sein Maximum auf F an.
Eind.: Es seien f1,f2 aus F,
ƒm(f1)=ƒm(f2)=maxf aus Fƒm(f),
f1=/=f2. Die Anwendung lehrt nun Folgende
beiden Fälle zu unterscheiden:
1. Fall: m entscheidet sich für ein fi,
i aus {1,2}, o.E. für f1. Dann gilt trivialerweise
ƒm(f1)>ƒm(f2) #
2. Fall: m kann sich nicht entscheiden. Dann gilt üblicherweise
max(ƒm(f1),ƒm(f2))<< maxf aus Fƒm(f)
(durch den Einfluß von fi auf ƒm(fi)) #
Bem. 1: In der Praxis ist zu beachten, daß |F|
sehr groß ist. Des weiteren ist ƒm(f) auch
für spezielle f oft schwer zu bestimmen.
Folgerung & Definition: Die durch F:M–>F,
m|–>argmaxf aus Fƒm(f)
gegebene Abbildung ist wohldefiniert. Sie heißt Sollabbildung auf M.
Bem. 2: Wegen |F|=/=|M| kann es
keine Bijektion zwischen F und M geben. Im allgemeinen ist F sogar
weder injektiv noch surjektiv.
Bem. 3: Analog kann die duale Aussage für M,
f aus F und þf gezeigt werden. Dies
liefert mit der dualen Abbildung Þ und Bemerkung 2 das Problem, daß
F°Þ=/=idF,
Þ°F=/=idM. Zur Lösung (auf
maximalen Teilmengen von F und M) müsste eine Verallgemeinerung
der Funktionen ƒm und þf betrachtet
werden, was natürlich bei der Maximierung eine Minderung der Werte auf
R für i.a. nichtleere Teilmengen von F und M bedeutet.
Bem. 4: Als Verallgemeinerung des Modells kann betrachtet werden,
daß M und F von der Zeit t abhängig sind. In
der Realität wird daher meist (d.h. für feste t0 aus
R) ein Maximum von ƒm (bzw. þf)
auf F(t0) geschnitten mit G*m(t0)
mit G*m(t0) Teilmenge von
G(t0):=M(t0) vereinigt F(t0)
(bzw. auf M(t0) geschnitten mit G*f(t0))
gesucht, sobald F(t0) geschnitten mit G*m(t0)=/=ø
(bzw. M(t0) geschnitten mit G*f(t0)=/=ø).
Dabei gilt trivialerweise stets m aus G*m(t0)
(bzw. f aus G*f(t0)),
also G*m(t0) ist eine Umgebung
von m bzgl. T':=P(G)~=T×P(F)
(bzw. G*f(t0) von f).
Bem. 5: (von T. Voigtmann)
Numerisch kann die Entscheidung für ein fi aus F mit einem konjugierten gradienten
Verfahren ("gemeinsame Annäherung") zur Minimierung von -fm erreicht werden. Dabei ist es
möglich, daß m in einem lokalen Minimum von -fm gefangen wird.
Ferner ist zu beachten, daß zur Wohldefiniertheit des Gradienten die Fortsetzung von fm
auf dem Abschluß Fcl gefordert ist. Im allgemeinen gilt hier
f*:=argmaxf aus Fclfm(f) nicht in F.
Bem. 6: (von T. Voigtmann)
Genauer gilt für zeitabhängige fm die folgende Differentialgleichung:
dtfm(fi) =
P(fi) +
djfm(fk)eijk +
Dijfm(fj)
Dabei bezeichnen die drei Summanden auf der rechten Seite die Anfangsverteilung, den
Einfluß der anderen fm(fj) auf
fm(fi) und den Dilemmatensor.
Desgl. als PostScript-Datei (73KB)
Same information in English (postscript-file, 64KB)
Anderl Niedermeier, 28.8.1996.
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